看到小曦媽媽提到她家小孩用負數解決「少多少」的問題， 我本來對低年級的孩子擁有負數概念不太有感覺， 但實在聽過不少低年級的孩子會負數， 加上前幾年有位網友轉貼了一位美國網友的小孩的作業讓我看， 那位孩子當時是小二，學校數學正在教負數， 讓我感到很訝異。 我回頭看了一下我家小兒子的數學發展紀錄， 發現他小一時，有段時間是用「倒扣」的方式計算減法， 當時他未有「－」此符號的概念。 那時候的老師出了這樣的題目： 10-3+2＝? 我問他可以用哪些方式計算出答案？ 除了按部就班，先算出10-3=7，7再加2外。 他還說：用3減掉2，還有一個1， 10扣掉一個1，等於9。 尚未習慣用借位，解決不夠減的問題時 他很喜歡用倒扣的方式計算 小二升小三暑假時，曾取笑我，說媽媽的智商一定是負一。 我問他：負一是什麼意思？ 他說：「零後面一格就是負一啊，往前一格就是一，負就是欠的意思。」 他會用數線解釋負數的觀念，讓我蠻訝異的， 不知道他從何處獲得這樣的觀念？ 但好奇心作祟，我又問他： 「-2+3等於多少？」他說「1，很簡單，我欠妳兩元，賺了3元，還給你後，剩一元。」 又問他：「那-2-2等於多少？」 他想了一下後說：「-4」 乾脆問他：「-2-(-2)=?」 這樣問就掛了，反正純粹好玩罷了， 不想教他較正式的負數觀念。 我家小兒子不是數理資優生， 對數學也沒有濃厚的熱忱與特殊的天份， 只是我一向讓他自然進化。 從未加工，教他任何加減乘除的計算規則， 就這樣慢慢發展出札實的十進位系統與位值概念。 小曦媽媽家的兒子很有數學天份，這是勿庸置疑的。 但我覺得，只要有機會讓孩子自然進化， 讓他們自己嘗試奮戰十進位系統， 對於數的敏感度，還是可以提升不少。 以前一位數學教育家前輩告訴我： 要讓一般的孩子訓練數感， 有個方法，就是不要他馬上計算出答案， 而是鼓勵他多去想想，可以用哪些不同的方法把答案算出來。 很多時候，所謂的快速的計算方式， 其實是在孩子尚未熟悉大人計算方式， 而用自己的方法解決問題時， 所發展出來的策略。 大人急著教給孩子計算規則時，其實也同時在扼殺孩子的數感！
我家小孩大概在四五歲的時候, 就知道負數. 他的理解是依據數線的位置. 所以一次搭電梯, 他說 "媽, 原來 B1 是 0, B2 是 -1". 若問他 -2 - 2, 也會回答 -4. 會他 (-2) - (-2) 他會回答 0. (自己減自己就是 0) 那時他也很輕易回答 96 + 8 = 104. 但後來我發現, 他的理解還是不夠全面. 如果倒過來問他, 8 + 96, 就顯得吃力. (8 往上挪 96 個位置, 很吃力) 這是因為他的加法並不是以 "量" 來操作, 所以加法交換率就顯得不直覺了. 那時候他愛問大數字相加, 一次我不耐煩, 就說很多很多是無窮大. 他問我, 無窮大加 1 是多少. 我說: "還是無窮大", 他又問, 無窮大減 1 是多少. 我說: "還是無窮大", 他又問: 無窮大減 無窮大 是多少, 是 0 嗎? 我說: "不是". 他再問: "那無窮大是 number 嗎?" 當時我覺得自己孩子的數學天賦是很明顯的. 但不急著去培養, 應該發展更全面的能力. 但這些年下來, 已經看不到當初的特質. 更看不到他從思考得到樂趣. 我認為是學校教育不夠啟發性. 曾小二還是小三暑假送他去蔡坤龍一對一上過幾次, 我雖喜歡教材, 但不喜歡預備檢定考試下又回到制式的學習方式. 這部分也放棄. 但國中是否要補習, 我還在考慮. 最大原因是補習班可以挑選, 任教老師卻不行. 當孩子不夠自律, 老師是誰還是有很大影響. (原作者於 2012-01-13 17:55:28 重新編輯過)
負數，這個概念，在畫本上(或某些研究報告上)寫著要10-12歲才能建立的概念，但事實上，約有二或三成的小朋友，在五歲前就可以接受了，只是，在教學與學習的路上，太多人中了"教科書進度"的毒，以為只有跟著教科書的進度才是進度。而忘卻，所謂的學習進度是學習者自己可以接受的進度，只要四、五歲能接受負的概念，那就是他適合的進度了。 ^_^
我家孩子對負數 移位 加法等概念也是四五歲發展出來 當時醫師測試他海豚有幾隻腳 他說兩隻 因為海豚有魚鰭 卡通上將此當腳 醫師問四加二多少 他馬上說六 醫師表示這年紀孩子 大多一個一個算上去 分數概念大概也是三到四五歲 三歲大概有三分之一這樣的概念 四五歲時我說我再過四分之一小時 就回來 他馬上將時間轉為幾分 而他還不會看時鐘 只是知道一小時幾分鐘 大班可以解小學數學(去辦事，辦事處的小孩正好在作數學，顯然正在跟數學奮鬥，辦事處的人開玩笑將題目讓他解，他還不會看字，靠聽力和心算) 小一時還有很多讓我驚訝的數及代數交換律 等等概念 不過從小二後 數學直覺越來越弱 他表示數學沒有那麼有趣了 國中 他數學雖然還可以 但是最討厭的科目是數學 我的解讀是 他雖然有數學直覺 但天分不足以持續和應付更艱難的數學 而煩瑣的計算跟考試領導教學的方式更是磨滅他的數學直覺 但數學總不能只靠直覺 還是有不少人數學考好 所以總歸一句 就是他沒我想像的好 以上純屬自己對自己孩子的想法 也不知道對或不對 (原作者於 2012-01-14 00:39:10 重新編輯過)
寬廣媽 謝謝妳的回應 記得我家小孩有一次問我：比零度更冷的是幾度？ 那次發現有負數這個概念時，他是說是「零的背面」 他現在還小，也許等他再大一點，在數學方面的能力如何會更明確 聽過很多人說過，至少要到小學高年級，甚至國高中之後 才能看出孩子真正的數學程度，我自己也很認同這樣的看法 不過就我觀察到的，孩子現在小二上 有一次數學小考他考94，據他說那次班上絕大多數都考七八十 我仔細看考題，確實出得很活，這樣就可以考倒很多孩子 他平時沒有做額外的評量或練習卷，因為我覺得老師給的練習已經夠多了 我知道坊間安親班都會給孩子做很多評量 有些我認識的全職媽媽，也會買評量給孩子做 我在想，做很多評量的孩子，平時考試成績可以很好，應該表示他們都很會了 但為何考題靈活一點就會考不好？ 這大概也可以是「孩子的學習出了什麼事」的思考之一吧 青寫的這段話 --- 但這些年下來, 已經看不到當初的特質. 更看不到他從思考得到樂趣. 我認為是學校教育不夠啟發性. --- 我個人非常認同 小學數學的教學確實難以讓學生從中得到樂趣和啟發 不過，老師面對不同資質的學生，大概也很難做到因材施教 didi 我覺得除了直覺和天份，動機和興趣才是長遠的學習路上更重要的因素 有前者沒後者，大概很難持續有令人驚豔的進展 我的孩子現在也處於這個狀態
其實，前幾樓那個用溫度來論述負數的想法並不怎麼好...... 攝氏溫度0度，這是定義出來的，這個0，並不代表沒有，只是純水結冰的溫度。-3度C，這個-3值，並不是代表真正的負，雖然它被冠上了一個"負"。 0元，這個0是絕對的零，它代表的是沒有。-3元 和 -3度C 的 -3之意涵是不同的。 以上。
這是我的想法, 數學之所以是科學的基礎, 就是它的一般性, 讓各領域的人可以獲得有力的分析工具. 一般孩子建立數學的感覺, 是從 "量" 的基礎. 對於一些孩子, 可能是發覺這些數字在數線上佔有某個 "位置". 我提過, 負數的理解以此觀點就很容易想像. 但這會使得加法交換律不再具有直覺意義. 0 這個數字, 固然是代表 "沒有". 但其實在座標系統裡, 代表的是 "原點". 我們做座標轉變, "平移" 代表可以調動原點的位置. 所以此時 0 並不具有實體的意義, 只是位置的標記. 我之所以在孩子小時候未培養他進入更難的數學思考. 也是因為發覺他以不同的角度切入數學, 有其天賦, 但也有限制. 高年級學生的數學表現開始拉開. 即使我常對小孩的數學表現 (回答我問題時) 不甚滿意, 但遇到大考, 即使他有粗心, 只要不是看錯整大題那種, 還是和許多小孩形成差距. 所以我覺得此時不分級, 其實是很可惜的.
我的助理曾經幫我跑過模擬. 標準差的理論值是 0.001, 但她算出的是 0.004. 一看就知道程式寫錯, 但我以為她理解沒多做解釋. 後來她困惑很久, 我才知道他認為兩者只差 0.003, 誤差很小怎麼叫有錯. 後來講給學生聽, 大多數人都不知道理由. 因為標準差或是變異數, 測的是 scale. 助理估出的是原來的四倍. 也就是本來很瘦的分布, 胖了四倍. 本來是顯著的結果, 帶入錯的估計量就可能變得不顯著了. 平均數看的是 location. 統計學裡老師教很多的測度. 但真正應用的時候, 是要挑選適合反映真相的測度. 拿選舉話題好了, 如果大台北兩大黨只差 1 萬票, 代表勢均力敵. 小鄉鎮差一萬, 就可能一面倒. 所以此時要比較比例, 而不是相減. 但如果遊戲規則是一對一單挑. 大贏與小贏, 都是贏. 此時, 一點票都要把握. 那種一面倒的, 就放棄算了. (原作者於 2012-01-14 10:53:40 重新編輯過)
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